Optimality system POD and a-posteriori error analysis for linear-quadratic optimal control problems

Zusammenfassung Die vorliegende Masterarbeit behandelt die numerische Lösung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mittels " optimality system POD " (OSPOD) und POD a-posteriori Fehlerschätzer. Ausgangspunkt ist die Modellreduktion mit einem klassischen POD Galerkin Ansatz, wobei die Güte des reduzierten Modells durch den a-posteriori Fehler in der Steuerung sehr gut geschätzt werden kann. Frühere Arbeiten haben ge-zeigt, dass es für hinreichend genaue Approximationen entscheidend ist, dass die POD Basis nicht aus beliebigen Zustands-und Steuerungsdaten bestimmt wird, sondern ei-nigermaßen den optimalen Zustand wiedergibt. Die Idee ist daher, erweiterte, soge-nannte OSPOD-Optimalitätsbedingungen zu formulieren, sodass die POD Basis optimal gewählt ist. In der hier verfolgten Strategie wird das Optimalitätssystem ausgenutzt, um eingangs die Steuerung durch wenige Gradientenschritte anzupassen und so die Basis zu verbessern. Anschließend hält der a-posteriori Schätzer die benötigte Anzahl an Basis-funktionen gering. Während die Theorie für allgemeine linear-quadratische Probleme hergeleitet wird, beziehen sich die numerischen Tests auf die optimale Steuerung der Wärmeleitungs-gleichung mit konstanten Koeffizienten, Randsteuerung und festen Steuerungsschranken. Hierfür ist der beschriebene Ansatz sehr erfolgreich: Ein bis zwei Gradientenschritte genügen, um deutlich schnellere und exaktere Ergebnisse zu erzielen. Ein Vergleich mit der zum unkontrollierten Zustand gehörigen POD Basis bestätigt außerdem, dass die OSPOD Schritte die Basisfunktionen stark in Richtung der optimalen Basis verändern. Der OSPOD Ansatz kann flexibel für diverse Problemeigenschaften adaptiert werden. Im Rahmen dieser Arbeit werden verschiedene Parametereinstellungen getestet, insbe-sondere was die " Snapshots " angeht, die für die POD Basis verwendet werden. Hier stellt sich heraus, dass wesentlich bessere Ergebnisse erreicht werden, wenn auch während der Gradientenschritte Informationen vom adjungierten Zustand in die Basis einfließen. Da-neben variieren wir auch das Zielfunktional, die Ausgangssteuerung, den verwendeten POD Rang und die Art der projizierten Gradientenschritte und werten die Beobachtun-gen aus.